% Part 5: Ensemble Kalman Filter
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\section{集合卡尔曼滤波方法}

\subsection{EnKF 基本原理}
集合卡尔曼滤波(Ensemble Kalman Filter, EnKF)是一种蒙特卡罗方法，通过集合短期预报估计卡尔曼滤波框架中的背景误差协方差。与变分方法依赖静态协方差矩阵不同，EnKF 提供流依赖的、动态演化的预报误差特征估计。

考虑 $N$ 个预报状态的集合:
\begin{equation}
\mathbf{X}^f = [\mathbf{x}_1^f, \mathbf{x}_2^f, \ldots, \mathbf{x}_N^f],
\end{equation}
集合均值为 $\overline{\mathbf{x}}^f = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathbf{x}_i^f$，预报误差协方差由集合近似:
\begin{equation}
\mathbf{P}^f \approx \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (\mathbf{x}_i^f - \overline{\mathbf{x}}^f)(\mathbf{x}_i^f - \overline{\mathbf{x}}^f)^T = \frac{1}{N-1} \mathbf{X}'^f (\mathbf{X}'^f)^T,
\end{equation}
其中 $\mathbf{X}'^f$ 为集合扰动矩阵。

{\color{red}\textbf{[流依赖协方差的优势]：EnKF 的关键创新在于协方差 $\mathbf{P}^f$ 随天气流型自适应。在高压脊区，误差相关性沿气流方向拉伸；在气旋区，误差结构呈旋转对称。这种流依赖性是静态协方差无法捕捉的，显著提升分析质量，特别是对快速发展的天气系统。}}

\subsection{卡尔曼滤波更新方程}
标准卡尔曼滤波更新方程为:
\begin{align}
\mathbf{K} &= \mathbf{P}^f \mathbf{H}^T (\mathbf{H}\mathbf{P}^f\mathbf{H}^T + \mathbf{R})^{-1}, \\
\overline{\mathbf{x}}^a &= \overline{\mathbf{x}}^f + \mathbf{K}(\mathbf{y}^o - \mathbf{H}\overline{\mathbf{x}}^f), \\
\mathbf{P}^a &= (\mathbf{I} - \mathbf{K}\mathbf{H})\mathbf{P}^f,
\end{align}
其中 $\mathbf{K}$ 为卡尔曼增益矩阵。EnKF 通过直接操作集合扰动避免显式计算 $\mathbf{P}^f$:
\begin{equation}
\mathbf{X}^a = \overline{\mathbf{x}}^a \mathbf{1}^T + \mathbf{X}'^f \mathbf{T},
\end{equation}
其中 $\mathbf{T}$ 为集合变换矩阵。

\subsection{局地集合变换卡尔曼滤波(LETKF)}
LETKF 通过在每个网格点局地执行分析解决计算挑战。对于网格点 $\mathbf{r}$，仅使用局地化半径 $L$ 内的观测:
\begin{equation}
\|\mathbf{r} - \mathbf{r}_j\| \leq L.
\end{equation}
变换矩阵通过求解获得:
\begin{equation}
\mathbf{T}_l^T \mathbf{T}_l = [(\mathbf{Y}'^f_l)^T \mathbf{R}_l^{-1} \mathbf{Y}'^f_l + (N-1)\mathbf{I}]^{-1},
\end{equation}
其中 $\mathbf{Y}'^f_l$ 为局地观测空间集合扰动。

{\color{red}\textbf{[局地化的双重作用]：局地化不仅解决计算问题，更是统计必要性。有限集合($N \sim 10$-$100$)产生虚假的远距离相关，污染分析。Gaspari-Cohn 局地化函数平滑截断这些虚假相关，同时保留真实的近距离协方差结构。最优局地化尺度通常为 200-500 km，取决于观测密度与集合大小。}}

\subsection{协方差膨胀}
有限集合导致方差低估，需协方差膨胀:
\begin{equation}
\mathbf{X}'^{f,\text{膨胀}} = \sqrt{1 + \delta} \cdot \mathbf{X}'^f,
\end{equation}
其中 $\delta$ 为膨胀因子。自适应膨胀基于创新统计动态调整:
\begin{equation}
\delta(\mathbf{r}, t) = \max[\delta_{\min}, \delta(\mathbf{r}, t-1) \cdot \exp\left(\frac{|\overline{d}|^2 - (\sigma_d^2 + \sigma_o^2)}{2(\sigma_d^2 + \sigma_o^2)}\right)],
\end{equation}
自动在集合发散不足时增加膨胀。

{\color{red}\textbf{[膨胀的物理意义]：膨胀补偿模型误差与采样误差。典型膨胀因子 $\delta \sim 0.05$-$0.15$(5\%-15\%)看似微小，但对维持滤波器稳定性至关重要。无膨胀的 EnKF 会在数天内``滤波器崩溃''：集合坍缩到单点，丧失不确定性表征能力。膨胀是 EnKF 长期稳定运行的生命线。}}

